Seja . Encontre cada um dos limites a seguir ou explique que o limite não existe.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de em relação a e a zero. Nosso objetivo aqui é encontrar o limite dessa função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
á
Isso significa que vale 1 se for maior ou igual a ou se for menor ou igual a zero. Em qualquer outro caso, vale 0.
Passo 3
Para encontrar o limite , precisamos verificar o comportamento de conforme se aproxima de por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes pelo menos por dois caminhos, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos testar alguns caminhos:
Caminho onde :
Substituindo na função:
á
Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.
Caminho onde :
Substituindo na função:
á
Aqui, o limite também é 1.
Caminho onde (isto é, mas ):
Substituindo na função:
á
Neste caso, o limite é 0.
Passo 5
Observamos que ao aproximar de pelo caminho ou , o limite de é 1. Porém, ao escolher o caminho , o limite é 0. Como estamos obtendo resultados diferentes por caminhos diferentes, isso indica que o limite não é único.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos dependendo do caminho de aproximação.