Seja . Encontre cada um dos limites a seguir ou explique que o limite não existe.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de em relação a e a zero. Nosso objetivo aqui é encontrar o limite dessa função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
á
Isso significa que vale 1 se for maior ou igual a ou se for menor ou igual a zero. Em qualquer outro caso, vale 0.

Passo 3

Para encontrar o limite , precisamos verificar o comportamento de conforme se aproxima de por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes pelo menos por dois caminhos, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos testar alguns caminhos:
  1. Caminho onde :
    Substituindo na função:
    á
    Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.
  2. Caminho onde :
    Substituindo na função:
    á
    Aqui, o limite também é 1.
  3. Caminho onde (isto é, mas ):
    Substituindo na função:
    á
    Neste caso, o limite é 0.

Passo 5

Observamos que ao aproximar de pelo caminho ou , o limite de é 1. Porém, ao escolher o caminho , o limite é 0. Como estamos obtendo resultados diferentes por caminhos diferentes, isso indica que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos dependendo do caminho de aproximação.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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p)
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(g)