Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2.

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim(x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2
Esse problema está relacionado ao cálculo de limites em várias variáveis. Para mostrar que o limite não existe, vamos analisar diferentes caminhos que levam ao ponto e verificar se o resultado do limite muda dependendo do caminho escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as variáveis para facilitar a análise. Vamos definir u^2vu^4 + v^2 e . Assim, quando , temos . A expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto 0 cdot v0 + v^2 = 0 .
Caminho 1: u^2 cdot 0u^4 + 0 = 0
Se , substituindo na expressão:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Caminho 2:
Se , substituindo na expressão:
Novamente, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Vamos agora escolher um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos considerar o caminho onde u^2 cdot k u^2u^4 + (k u^2)^2 = k u^4u^4 + k^2 u^4 = k1 + k^2 , onde é uma constante qualquer.
Substituindo na expressão do limite:
Perceba que, dependendo do valor de , o limite pode variar. Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

Como obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos ( lim(x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2 e ), concluímos que o limite
não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,2) x+1x^2+y^2-5.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y.
Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }