Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
Esse problema está relacionado ao cálculo de limites em várias variáveis. Para mostrar que o limite não existe, vamos analisar diferentes caminhos que levam ao ponto
e verificar se o resultado do limite muda dependendo do caminho escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as variáveis para facilitar a análise. Vamos definir
e
. Assim, quando
, temos
. A expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Caminho 1:
Se
, substituindo na expressão:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Caminho 2:
Se
, substituindo na expressão:
Novamente, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 4
Vamos agora escolher um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos considerar o caminho onde
, onde
é uma constante qualquer.
Substituindo
na expressão do limite:
Perceba que, dependendo do valor de
, o limite pode variar. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
Como obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos (
e
), concluímos que o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Discuta a continuidade das seguintes funções: