Use a Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis para determinar
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. O que temos aqui é uma função de duas variáveis:
com
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis. Isso vai nos ajudar a encontrar como
muda quando
muda, considerando que
depende tanto de
quanto de
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função
e
e
são funções de
, a derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
,
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos agora encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Dado que
:
E dado que
:
Passo 5
Com todas essas partes prontas, vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: