Use a Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis para determinar d/z dt, onde
z = (e^x + e^(-y)) / x, x = cos(t), y = t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação ao tempo , ou seja, . O que temos aqui é uma função de duas variáveis:
com e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis. Isso vai nos ajudar a encontrar como muda quando muda, considerando que depende tanto de quanto de , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função e e são funções de , a derivada de em relação a é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e , são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos agora encontrar as derivadas de e em relação a .
Dado que :
E dado que :

Passo 5

Com todas essas partes prontas, vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão:
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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