Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, que é uma parte da matemática que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de
de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
na função para ver o que acontece. Se fizermos isso:
Então, a função parece tender a 0 nessa substituição. Mas, em limites de várias variáveis, só isso não garante que o limite exista. Precisamos verificar se esse valor é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos considerar o comportamento da função para valores de
muito pequenos. Sabemos que, para
próximo de 0,
pode ser aproximado por
(isso vem da série de Taylor). Então,
. Substituindo isso na função, temos:
Isso simplifica a análise, pois agora vemos como
e
interagem nessa expressão.
Passo 4
Agora, vamos analisar o quociente
. Como
está se aproximando de
, podemos tratar
como próximo de 1. Então,
está próximo de 1, e
está próximo de 0, já que
está indo para 0.
Isso nos dá uma ideia de que o denominador
está próximo de 1, e o numerador
está próximo de
, que também vai para 0. Portanto, o quociente todo tende a 0.
Passo 5
Para confirmar, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação:
-
Caminho horizontal (
): -
Caminho vertical (
): -
Caminho diagonal (
) para algum ):
Substituindo, vemos que o limite também tende a 0.
Como em todos os caminhos o limite é 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Prove que a sequência
definida por
e
é convergente.
Determine se a série converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule a soma.
A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Calcule a velocidade e a velocidade limite que a partícula pode atingir. A velocidade limite corresponde ao comportamento da velocidade após um longo tempo.
Calcule a velocidade
Resolva o Problema de valor inicial dado.