Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l) lim (x, y) (1,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, que é uma parte da matemática que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de 1^2 sin^2 01^2 + 2 times 0^2 = 1 times 01 + 0 = 0 e na função para ver o que acontece. Se fizermos isso:
Então, a função parece tender a 0 nessa substituição. Mas, em limites de várias variáveis, só isso não garante que o limite exista. Precisamos verificar se esse valor é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos considerar o comportamento da função para valores de x^2 y^2x^2 + 2 y^2 muito pequenos. Sabemos que, para próximo de 0, pode ser aproximado por (isso vem da série de Taylor). Então, . Substituindo isso na função, temos:
Isso simplifica a análise, pois agora vemos como e interagem nessa expressão.

Passo 4

Agora, vamos analisar o quociente . Como está se aproximando de , podemos tratar como próximo de 1. Então, está próximo de 1, e está próximo de 0, já que está indo para 0.
Isso nos dá uma ideia de que o denominador está próximo de 1, e o numerador está próximo de , que também vai para 0. Portanto, o quociente todo tende a 0.

Passo 5

Para confirmar, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação:
  1. Caminho horizontal ( x^2 sin^2 0x^2 + 2 times 0^2 = 0 ):
    1^2 sin^2 y1^2 + 2 y^2 = sin^2 y1 + 2 y^2 approx y^21 = y^2 0
  2. Caminho vertical ( ):
  3. Caminho diagonal ( ) para algum ):
    Substituindo, vemos que o limite também tende a 0.
Como em todos os caminhos o limite é 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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