Resolva o Problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
integrando
em relação a
. Integraremos
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, as constantes de integração podem ser funções de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar
comparando a derivada parcial de
em relação a
com
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
, encontramos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos a solução geral da equação diferencial:
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução particular do problema é: