Resolva o Problema de valor inicial dado. (9x^2 + y - 1) dx - (4y - x) dy = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função F(x, y) integrando M em relação a x. Integraremos :
Aqui, é uma função que depende apenas de y, já que ao integrar em relação a x, as constantes de integração podem ser funções de y.

Passo 4

Agora, vamos determinar comparando a derivada parcial de F em relação a y com N:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a y, encontramos:
Onde C é uma constante de integração.

Passo 5

Substituindo na expressão de F(x, y), temos a solução geral da equação diferencial:
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de C:

Resposta

A solução particular do problema é:

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