Resolva o Problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função integrando em relação a . Integraremos :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , as constantes de integração podem ser funções de .

Passo 4

Agora, vamos determinar comparando a derivada parcial de em relação a com :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a , encontramos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos a solução geral da equação diferencial:
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução particular do problema é:

Exercícios relacionados

A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Calcule a velocidade e a velocidade limite que a partícula pode atingir. A velocidade limite corresponde ao comportamento da velocidade após um longo tempo.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l)
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Faça um diagrama de forças e escolha uma orientação para o eixo de coordenadas.
Para cada equação dos problemas abaixo, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução. sen sen