Prove que a sequência
definida por
e
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a sequência
definida por
e
é convergente. Isso envolve conceitos de sequências recursivas e limites de sequências. Vamos precisar entender como uma sequência se comporta quando
cresce e usar propriedades de limites para encontrar o valor ao qual essa sequência está se aproximando.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender a sequência. Sabemos que
. Para encontrar os próximos termos, usamos a relação
. Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
Parece que
para
. Vamos verificar isso por indução matemática.
Passo 3
Base da indução: Para
,
. Está certo.
Passo indutivo: Suponha que
para algum
. Vamos mostrar que
.
Usando a relação de recorrência:
Então, por indução,
para todo
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos analisar o limite dessa sequência conforme
tende ao infinito. A teoria nos diz que:
Isso porque, quanto maior
fica, menor fica o valor de
, aproximando-se de zero.
Passo 5
Portanto, concluímos que a sequência
, onde
, converge para 0 quando
tende ao infinito. Ou seja,
.
Resposta
A sequência
definida por
e
é convergente, e seu limite é 0.