Prove que a sequência a_n definida por a1 = 1 e a_{n+1} = n a_{n} / (n + 1) é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a sequência definida por e é convergente. Isso envolve conceitos de sequências recursivas e limites de sequências. Vamos precisar entender como uma sequência se comporta quando cresce e usar propriedades de limites para encontrar o valor ao qual essa sequência está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender a sequência. Sabemos que . Para encontrar os próximos termos, usamos a relação . Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
Parece que para . Vamos verificar isso por indução matemática.

Passo 3

Base da indução: Para , . Está certo.
Passo indutivo: Suponha que para algum . Vamos mostrar que .
Usando a relação de recorrência:
Então, por indução, para todo .

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos analisar o limite dessa sequência conforme tende ao infinito. A teoria nos diz que:
Isso porque, quanto maior fica, menor fica o valor de , aproximando-se de zero.

Passo 5

Portanto, concluímos que a sequência , onde , converge para 0 quando tende ao infinito. Ou seja, .

Resposta

A sequência definida por e é convergente, e seu limite é 0.

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