Determine se a série converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule a soma.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar a série infinita
e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o teste do limite do termo geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o comportamento quando
fica muito grande. Olha só:
Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
para facilitar a análise.
Passo 3
Fazendo essa divisão, temos:
Agora, vamos analisar o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 4
Calculando o limite:
Passo 5
Pelo teste do limite do termo geral, se o limite do termo não for zero, a série diverge. Aqui, o limite deu 1, que não é zero. Portanto, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(g)
(g)
Calcule o limite da sequência
.
Prove que a sequência
definida por
e
é convergente.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l)
(l)