A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Calcule a velocidade e a velocidade limite que a partícula pode atingir. A velocidade limite corresponde ao comportamento da velocidade após um longo tempo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que é solta do repouso. Ela está sujeita à força da gravidade e a uma força resistiva que é proporcional à sua velocidade, dada por . O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica de movimento com resistência proporcional à velocidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e resolver uma equação diferencial que descreve a velocidade da partícula em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a massa e a aceleração :
Aqui, a única força atuando na partícula é a força da gravidade menos a força resistiva:
Substituindo na segunda lei de Newton, temos:

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Agora, aplicamos a condição inicial. Sabemos que a partícula parte do repouso, ou seja, :

Passo 7

Substituindo o valor de na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 8

Agora, para encontrar a velocidade limite ou velocidade terminal , consideramos o comportamento da velocidade para tendendo ao infinito:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a velocidade limite que a partícula alcança após um longo tempo é:

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l)
Prove que a sequência definida por e é convergente.
Resolva o Problema de valor inicial dado.
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Faça um diagrama de forças e escolha uma orientação para o eixo de coordenadas.