A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Calcule a velocidade
e a velocidade limite que a partícula pode atingir. A velocidade limite corresponde ao comportamento da velocidade após um longo tempo.
Calcule a velocidade
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que é solta do repouso. Ela está sujeita à força da gravidade e a uma força resistiva que é proporcional à sua velocidade, dada por
. O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica de movimento com resistência proporcional à velocidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e resolver uma equação diferencial que descreve a velocidade da partícula em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante
com a massa
e a aceleração
:
Aqui, a única força atuando na partícula é a força da gravidade menos a força resistiva:
Substituindo na segunda lei de Newton, temos:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial. Sabemos que a partícula parte do repouso, ou seja,
:
Passo 7
Substituindo o valor de
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, para encontrar a velocidade limite ou velocidade terminal
, consideramos o comportamento da velocidade para
tendendo ao infinito:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a velocidade limite que a partícula alcança após um longo tempo é:
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
(l)
(l)
Prove que a sequência
definida por
e
é convergente.
Resolva o Problema de valor inicial dado.
A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Faça um diagrama de forças e escolha uma orientação para o eixo de coordenadas.
Faça um diagrama de forças e escolha uma orientação para o eixo de coordenadas.