Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Nesse exercício, vamos aplicar conceitos de limites em funções de várias variáveis, além de propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Precisaremos avaliar o comportamento das funções e próximo aos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Começamos com . Aqui, temos uma função exponencial onde o expoente é . Para encontrar o limite dessa parte, precisamos calcular .
Passo 3
Calculando : Sabemos que, se se aproxima de , então se aproxima de . Portanto, tende a , assumindo que para que a potência seja definida.
Passo 4
Assim, o limite de quando se aproxima de é .
Passo 5
Agora, vamos analisar a parte . Queremos calcular . Primeiro, vamos calcular o limite do argumento da tangente, ou seja, .
Passo 6
Calculando : Quando tende a e tende a , o produto tende a .
Passo 7
Portanto, . Sabemos que , pois a tangente de radianos é zero.
Passo 8
Agora, juntando os dois resultados: o limite de é e o limite de é . Como estamos multiplicando as duas funções, temos: