Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^y^2 tg(x z)

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Nesse exercício, vamos aplicar conceitos de limites em funções de várias variáveis, além de propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Precisaremos avaliar o comportamento das funções e próximo aos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Começamos com . Aqui, temos uma função exponencial onde o expoente é . Para encontrar o limite dessa parte, precisamos calcular .

Passo 3

Calculando : Sabemos que, se se aproxima de , então se aproxima de . Portanto, tende a , assumindo que para que a potência seja definida.

Passo 4

Assim, o limite de quando se aproxima de é .

Passo 5

Agora, vamos analisar a parte . Queremos calcular . Primeiro, vamos calcular o limite do argumento da tangente, ou seja, .

Passo 6

Calculando : Quando tende a e tende a , o produto tende a .

Passo 7

Portanto, . Sabemos que , pois a tangente de radianos é zero.

Passo 8

Agora, juntando os dois resultados: o limite de e^theta^theta^2 times 0 = 0 é e o limite de é . Como estamos multiplicando as duas funções, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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