Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite da função
quando
se aproxima de
. Nesse exercício, vamos aplicar conceitos de limites em funções de várias variáveis, além de propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Precisaremos avaliar o comportamento das funções
e
próximo aos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Começamos com
. Aqui, temos uma função exponencial onde o expoente é
. Para encontrar o limite dessa parte, precisamos calcular
.
Passo 3
Calculando
: Sabemos que, se
se aproxima de
, então
se aproxima de
. Portanto,
tende a
, assumindo que
para que a potência seja definida.
Passo 4
Assim, o limite de
quando
se aproxima de
é
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a parte
. Queremos calcular
. Primeiro, vamos calcular o limite do argumento da tangente, ou seja,
.
Passo 6
Calculando
: Quando
tende a
e
tende a
, o produto
tende a
.
Passo 7
Portanto,
. Sabemos que
, pois a tangente de
radianos é zero.
Passo 8
Agora, juntando os dois resultados: o limite de
é
e o limite de
é
. Como estamos multiplicando as duas funções, temos:
Resposta
O limite é igual a
.