Encontre o polinômio interpolador de Lagrange da função f que relaciona os seguintes valores:
X -1 0 1 2
F(x) 0,5 2 -0.9 3

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função que relaciona os seguintes valores:
Vamos precisar entender o que é o polinômio de Lagrange e como aplicá-lo para interpolar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, o que é o polinômio interpolador de Lagrange? É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Ou seja, ele “interpola” os valores da função nos pontos fornecidos.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange para pontos é:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos 4 pontos ( ): , , , e . Vamos calcular cada individualmente.

Calculando :

Calculando :

Calculando :

Calculando :

Passo 4

Agora que temos todos os , vamos montar o polinômio :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando mais:
Simplificando as frações:

Passo 5

Vamos expandir cada termo para simplificar o polinômio:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
Vamos converter todas as frações para decimais:
Agora, somamos todos os termos:
Somando os coeficientes de :
Somando os coeficientes de :
Somando os coeficientes de :
E o termo constante:

Resposta

Portanto, o polinômio interpolador de Lagrange é:

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