Encontre o polinômio interpolador de Lagrange da função f que relaciona os seguintes valores:
X
-1
0
1
2
0,5
2
3
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função que relaciona os seguintes valores:
Vamos precisar entender o que é o polinômio de Lagrange e como aplicá-lo para interpolar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, o que é o polinômio interpolador de Lagrange? É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Ou seja, ele “interpola” os valores da função nos pontos fornecidos.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange para pontos é:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange definido por:
Passo 3
No nosso caso, temos 4 pontos (): , , , e . Vamos calcular cada individualmente.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora que temos todos os , vamos montar o polinômio :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando mais:
Simplificando as frações:
Passo 5
Vamos expandir cada termo para simplificar o polinômio: