Encontre o polinômio interpolador de Lagrange da função f que relaciona os seguintes valores:
X | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0,5 | 2 |
|
3 |
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função
que relaciona os seguintes valores:
Vamos precisar entender o que é o polinômio de Lagrange e como aplicá-lo para interpolar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, o que é o polinômio interpolador de Lagrange? É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Ou seja, ele “interpola” os valores da função
nos pontos fornecidos.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange
para
pontos é:
Onde cada
é o polinômio base de Lagrange definido por:
Passo 3
No nosso caso, temos 4 pontos (
):
,
,
, e
. Vamos calcular cada
individualmente.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos todos os
, vamos montar o polinômio
:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando mais:
Simplificando as frações:
Passo 5
Vamos expandir cada termo para simplificar o polinômio:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos:
Vamos converter todas as frações para decimais:
Agora, somamos todos os termos:
Somando os coeficientes de
:
Somando os coeficientes de
:
Somando os coeficientes de
:
E o termo constante:
Resposta
Portanto, o polinômio interpolador de Lagrange é: