Resolva os sistemas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
6x + 2y - z = 7 2x + 4y + z = 7 3x + 2y + 8z = 13 ,
e
. A matriz que representa esse sistema é:
Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nosso sistema de forma matricial para facilitar as operações:
O objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos isolar as incógnitas uma a uma.
Passo 3
Vamos começar eliminando o
Linha2 = Linha2 - (13 times Linha1) das segunda e terceira linhas. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Eliminando
2 - (13 times 6) = 2 - 2 = 0 da segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por
4 - (13 times 2) = 4 - 23 = 103 e subtraímos da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Eliminando
8 - (12 times (-1)) = 8 + 12 = 172 da terceira linha:
Multiplicamos a primeira linha por
13 - (12 times 7) = 13 - 72 = 192 e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 4
Agora, nosso sistema está assim:
Vamos simplificar as frações multiplicando as equações para eliminar os denominadores.
Multiplicando a segunda equação por 3:
Multiplicando a terceira equação por 2:
Agora, o sistema fica:
Passo 5
Vamos resolver agora o sistema de duas equações com duas incógnitas (
10y + 4z = 14 (Equação A) 2y + 17z = 19 (Equação B) e
10y + 85z = 95 ):
Vamos eliminar uma das variáveis. Vou escolher eliminar
81z = 81 .
Multiplicamos a Equação B por 5:
Agora, subtraímos a Equação A dessa nova equação:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Com o valor de
10y + 4(1) = 14 , vamos encontrar
10y + 4 = 14 usando a Equação A:
Passo 7
Agora que temos
6x + 2(1) - (1) = 7 e
6x + 2 - 1 = 7 , vamos encontrar
6x + 1 = 7 usando a primeira equação do sistema original:
Resposta
A solução do sistema é
,
e
.
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X | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0,5 | 2 |
|
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x | y |
---|---|
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