Encontre o volume do sólido delimitado por z^2 = x^2 + y^2 e z = x^2 + y^2. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelas superfícies e . Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e montar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
E a relação .

Passo 3

Convertendo para coordenadas cilíndricas:
E convertendo :

Passo 4

Agora, vamos determinar onde essas duas superfícies se cruzam. Igualando as duas expressões para :
Então, o raio varia de 0 a 1.

Passo 5

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de a (círculo completo).
  • varia de a .
  • Para cada , varia de até (pois está abaixo de ).

Passo 6

Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 8

Agora, integramos em :

Passo 9

Por fim, integramos em :

Resposta

O volume do sólido é .

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