Encontre o volume do sólido delimitado por
e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelas superfícies
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e montar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
E a relação
.
Passo 3
Convertendo
para coordenadas cilíndricas:
E convertendo
:
Passo 4
Agora, vamos determinar onde essas duas superfícies se cruzam. Igualando as duas expressões para
:
Então, o raio
varia de 0 a 1.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de a (círculo completo). -
varia de a . - Para cada
, varia de até (pois está abaixo de ).
Passo 6
Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator
vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Passo 9
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
e
A função dada é diferenciável em
? Justifique:
(a)
(a)
Encontre o volume do sólido delimitado por
.