A função dada é diferenciável em (0,0) ? Justifique:
(a) f(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0,0); 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida como quando e . A pergunta é: essa função é diferenciável em ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição é satisfeita nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o valor da função pode ser bem aproximado por uma função linear perto desse ponto. Vamos verificar as derivadas parciais de em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a em . Isso significa que vamos ver como muda quando a gente muda pouco, mantendo . Então, calculemos:
Como o limite não existe (vai para infinito), a derivada parcial em não existe em .

Passo 4

Do mesmo jeito, vamos tentar calcular a derivada parcial de em relação a em :
Novamente, o limite não existe porque vai para menos infinito. Então, a derivada parcial em também não existe em .

Passo 5

Como as derivadas parciais de em não existem, já podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto. Além disso, para uma função ser diferenciável, é necessário que as derivadas parciais existam e sejam contínuas, o que não acontece aqui.

Resposta

A função não é diferenciável em porque as derivadas parciais nesse ponto não existem.

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