A função dada é diferenciável em
? Justifique:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida como
quando
e
. A pergunta é: essa função é diferenciável em
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição é satisfeita nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o valor da função pode ser bem aproximado por uma função linear perto desse ponto. Vamos verificar as derivadas parciais de
em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
em
. Isso significa que vamos ver como
muda quando a gente muda
pouco, mantendo
. Então, calculemos:
Como o limite não existe (vai para infinito), a derivada parcial em
não existe em
.
Passo 4
Do mesmo jeito, vamos tentar calcular a derivada parcial de
em relação a
em
:
Novamente, o limite não existe porque vai para menos infinito. Então, a derivada parcial em
também não existe em
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
em
não existem, já podemos concluir que a função
não é diferenciável nesse ponto. Além disso, para uma função ser diferenciável, é necessário que as derivadas parciais existam e sejam contínuas, o que não acontece aqui.
Resposta
A função
não é diferenciável em
porque as derivadas parciais nesse ponto não existem.
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e
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e
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.