Encontre o volume do sólido delimitado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido definido pela equação
. Essa equação representa uma elipsoide, que é uma figura 3D parecida com uma esfera, mas com eixos diferentes. Para calcular o volume dela, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da elipsoide. A equação
mostra que os eixos nas direções
e
têm comprimento
, e na direção
tem comprimento
. Para encontrar o volume, precisamos integrar a área da base em todas as alturas, mas vamos simplificar usando a fórmula do volume da elipsoide.
Passo 3
A fórmula geral para o volume de uma elipsoide é:
onde
,
e
são os semi-eixos da elipsoide. No nosso caso, os semi-eixos nas direções
e
são iguais, ambos valem
, e o semi-eixo na direção
vale
. Então, podemos simplificar a fórmula substituindo
por
:
Passo 4
Portanto, substituindo os valores dos semi-eixos na fórmula, chegamos ao volume da elipsoide. Não precisamos fazer integrações complicadas porque já temos essa fórmula pronta que nos dá o resultado direto.
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
A função dada é diferenciável em
? Justifique:
(a)
(a)
Encontre o volume do sólido delimitado por
e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Dados os vetores
e
. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
;