Encontre o volume do sólido delimitado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido definido pela equação . Essa equação representa uma elipsoide, que é uma figura 3D parecida com uma esfera, mas com eixos diferentes. Para calcular o volume dela, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da elipsoide. A equação mostra que os eixos nas direções e têm comprimento , e na direção tem comprimento . Para encontrar o volume, precisamos integrar a área da base em todas as alturas, mas vamos simplificar usando a fórmula do volume da elipsoide.

Passo 3

A fórmula geral para o volume de uma elipsoide é:
onde , e são os semi-eixos da elipsoide. No nosso caso, os semi-eixos nas direções e são iguais, ambos valem , e o semi-eixo na direção vale . Então, podemos simplificar a fórmula substituindo por :

Passo 4

Portanto, substituindo os valores dos semi-eixos na fórmula, chegamos ao volume da elipsoide. Não precisamos fazer integrações complicadas porque já temos essa fórmula pronta que nos dá o resultado direto.

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

A função dada é diferenciável em ? Justifique:
(a)
Encontre o volume do sólido delimitado por e . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Dados os vetores e . Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e ;