Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y) = raiz(x) + y

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui! O enunciado pede para a gente fazer o mapa de contorno da função , mostrando várias curvas de nível. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente no estudo de curvas de nível (ou curvas de contorno). Para resolver isso, vamos precisar entender como construir essas curvas definindo diferentes valores para a função e resolvendo para uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , temos:
Nosso objetivo é encontrar em termos de para diferentes valores de . Vamos isolar :

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação . Isso representa uma família de curvas que são basicamente a função invertida e deslocada verticalmente por . Vamos escolher alguns valores de para desenhar diferentes curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher .

Passo 5

Vamos considerar :
Para , essa curva desce da coordenada conforme aumenta.
Agora, para :
E assim por diante para e .

Passo 6

Cada valor de cria uma nova curva de nível que é uma parábola invertida (devido ao ) deslocada para cima conforme aumenta. Isso significa que à medida que aumenta, as curvas de nível se movem para cima no gráfico.

Passo 7

Para visualizar o mapa de contorno, plotamos todas essas curvas no mesmo sistema de coordenadas. Vamos listar as equações das curvas de nível para :

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias curvas de nível da forma , onde é uma constante positiva. Essas curvas são parábolas invertidas que se deslocam verticalmente para cima conforme aumenta. No gráfico, elas começam em pontos diferentes no eixo e descem à medida que aumenta, formando um conjunto de curvas que representam diferentes “alturas” da função.

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