Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, o que significa que conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar entender como separar essas variáveis e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com fiquem em um lado e as com no outro.
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Agora, substituindo :

Passo 3

Em seguida, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora temos todas as expressões em de um lado e em do outro, prontas para serem integradas.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Precisamos resolver essas integrais separadamente. A integral do lado esquerdo pode ser um pouco complicada, mas podemos simplificá-la por substituição.

Passo 5

Observando a integral do lado esquerdo:
Vamos tentar uma substituição. Seja , então:
Infelizmente, não temos no numerador, então essa substituição não simplifica diretamente. Nesse caso, pode ser mais eficiente reconhecer que essa integral não possui uma forma elemental simples, mas continuaremos com o processo formal.

Passo 6

Resolvendo do outro lado:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para achar .
a)
,
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: