Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar entender como separar essas variáveis e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com
fiquem em um lado e as com
no outro.
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Agora, substituindo
:
Passo 3
Em seguida, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora temos todas as expressões em
de um lado e em
do outro, prontas para serem integradas.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Precisamos resolver essas integrais separadamente. A integral do lado esquerdo pode ser um pouco complicada, mas podemos simplificá-la por substituição.
Passo 5
Observando a integral do lado esquerdo:
Vamos tentar uma substituição. Seja
, então:
Infelizmente, não temos
no numerador, então essa substituição não simplifica diretamente. Nesse caso, pode ser mais eficiente reconhecer que essa integral não possui uma forma elemental simples, mas continuaremos com o processo formal.
Passo 6
Resolvendo do outro lado:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para achar
.
a)
,
a)
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem
.
b) ao longo de uma reta qualquer
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: