Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir em quais pontos do plano cartesiano ela é contínua. Além disso, temos que justificar nossa resposta e desenhar a região onde a função é contínua. Para resolver isso, vamos lembrar sobre continuidade de funções e condições para a raiz quadrada ser válida.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” ali. No caso da nossa função , precisamos garantir que o valor dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não existe nos números reais.

Passo 3

Então, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Para que a função seja definida, precisamos que:
Isso significa que:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que e podem ser positivos ou negativos), obtemos:
Essa desigualdade descreve todas as pontos no plano onde a distância de é menor ou igual à distância de .

Passo 4

Essa condição corresponde à região entre as retas e no plano cartesiano. Visualmente, é como se fosse uma “fasquia” que se estende para os lados, incluindo as próprias linhas e .

Passo 5

Dentro dessa região, a função está bem definida e, por isso, contínua. Nas retas e , a expressão dentro da raiz é exatamente zero, o que dá . Fora dessa região, ou seja, quando , a função não está definida porque a raiz quadrada de um número negativo não é real, o que quebra a continuidade.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano cartesiano onde , ou seja, dentro e sobre as retas e . A região de continuidade é a “fasquia” entre essas duas linhas, incluindo elas mesmas.

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