Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a função
e precisamos descobrir em quais pontos do plano cartesiano essa função é contínua. Para isso, vamos usar o conceito de função contínua e, mais especificamente, analisar onde o denominador dessa fração não é zero. Se o denominador for zero em algum ponto, a função não estará definida ali, ou seja, não será contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o denominador da função, que é
. A função será contínua em todos os pontos onde
. Então, precisamos descobrir para quais valores de
e
o denominador é igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Para simplificar, podemos fatorar por
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada uma delas.
Passo 4
Caso 1:
Se
, substituindo na equação original do denominador:
Então, para qualquer
, se
, o denominador é zero.
Caso 2:
Vamos reorganizar essa equação:
Fatorando
:
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Então, quando
, precisamos checar se
. Se
, ou seja,
, a equação original também se anula.
Resumindo, os pontos onde o denominador é zero são:
- Todos os pontos com
- Todos os pontos com
Passo 5
Como identificamos que o denominador é zero quando
ou
, a função
não está definida nesses casos. Portanto, a função será contínua em todos os pontos do plano cartesiano, exceto onde
ou
.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano cartesiano menos nos pontos onde
ou
. Ou seja, ela é contínua para todos os
com
e
. A região de continuidade é o plano inteiro excluindo as linhas
e
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Mostre que
, utilizando
(a) A definição de limite
(a) A definição de limite