Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a função e precisamos descobrir em quais pontos do plano cartesiano essa função é contínua. Para isso, vamos usar o conceito de função contínua e, mais especificamente, analisar onde o denominador dessa fração não é zero. Se o denominador for zero em algum ponto, a função não estará definida ali, ou seja, não será contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o denominador da função, que é . A função será contínua em todos os pontos onde . Então, precisamos descobrir para quais valores de e o denominador é igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Para simplificar, podemos fatorar por :
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada uma delas.

Passo 4

Caso 1:
Se , substituindo na equação original do denominador:
Então, para qualquer , se , o denominador é zero.
Caso 2:
Vamos reorganizar essa equação:
Fatorando :
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Então, quando , precisamos checar se . Se , ou seja, , a equação original também se anula.
Resumindo, os pontos onde o denominador é zero são:
  • Todos os pontos com
  • Todos os pontos com

Passo 5

Como identificamos que o denominador é zero quando ou , a função não está definida nesses casos. Portanto, a função será contínua em todos os pontos do plano cartesiano, exceto onde ou .

Resposta

A função é contínua em todo o plano cartesiano menos nos pontos onde ou . Ou seja, ela é contínua para todos os com e . A região de continuidade é o plano inteiro excluindo as linhas e .

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