Mostre que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0, utilizando
(a) A definição de limite (varepsilon-de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de 2xy^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a 0. Isso envolve a matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite (varepsilon-de, que é uma forma rigorosa de provar que o limite realmente é o que a gente acha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa essa definição de limite. Dizemos que:
lim (x, y) (0,0) f(x, y) = L
se, para todo número positivo varepsilon, existir um número positivo de tal que sempre que raizx^2 + y^2 < de, então |f(x, y) - L| < varepsilon.
No nosso caso, queremos provar que L = 0 e f(x, y) = 2xy^2x^2+y^2.

Passo 3

Então, nosso objetivo é mostrar que para todo varepsilon > 0, podemos encontrar um de 0 tal que se raizx^2 + y^2 < de, então:
| 2xy^2x^2+y^2 - 0 | < varepsilon
Simplificando, isso fica:
| 2xy^2x^2+y^2 | < varepsilon

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a escolha de de. Observando o numerador e o denominador:
| 2xy^2x^2+y^2 | = 2|x||y|^2x^2+y^2
Agora, note que x^2 + y^2 >= y^2, então podemos escrever:
2|x||y|^2x^2+y^2 <= 2|x||y|^2y^2 = 2|x|
Portanto, temos:
| 2xy^2x^2+y^2 | <= 2|x|

Passo 5

Agora, queremos que 2|x| < varepsilon. Para garantir isso, basta que:
|x| < varepsilon2
Como estamos assumindo que raizx^2 + y^2 < de, e |x| <= raizx^2 + y^2, podemos escolher:
de

Passo 6

Com essa escolha de de, sempre que raizx^2 + y^2 < de, teremos:
| 2xy^2x^2+y^2 | <= 2|x| < 2 cdot varepsilon2 = varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que:
lim (x, y) (0,0) 2xy^2x^2+y^2 = 0

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