Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso envolve a matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite , que é uma forma rigorosa de provar que o limite realmente é o que a gente acha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa definição de limite. Dizemos que:
se, para todo número positivo , existir um número positivo tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos provar que e .
Passo 3
Então, nosso objetivo é mostrar que para todo , podemos encontrar um tal que se , então:
Simplificando, isso fica:
| 2xy^2x^2+y^2 | < varepsilon
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a escolha de de. Observando o numerador e o denominador:
| 2xy^2x^2+y^2 | = 2|x||y|^2x^2+y^2
Agora, note que x^2 + y^2 >= y^2, então podemos escrever:
2|x||y|^2x^2+y^2 <= 2|x||y|^2y^2 = 2|x|
Portanto, temos:
| 2xy^2x^2+y^2 | <= 2|x|
Passo 5
Agora, queremos que 2|x| < varepsilon. Para garantir isso, basta que:
|x| < varepsilon2
Como estamos assumindo que raizx^2 + y^2 < de, e |x| <= raizx^2 + y^2, podemos escolher:
de
Passo 6
Com essa escolha de de, sempre que raizx^2 + y^2 < de, teremos: