Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso envolve a matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite , que é uma forma rigorosa de provar que o limite realmente é o que a gente acha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa definição de limite. Dizemos que:
se, para todo número positivo , existir um número positivo tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos provar que e .
Passo 3
Então, nosso objetivo é mostrar que para todo , podemos encontrar um tal que se , então:
Simplificando, isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a escolha de . Observando o numerador e o denominador:
Agora, note que , então podemos escrever:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, queremos que . Para garantir isso, basta que:
Como estamos assumindo que , e , podemos escolher: