Mostre que , utilizando
(a) A definição de limite

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso envolve a matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite , que é uma forma rigorosa de provar que o limite realmente é o que a gente acha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa essa definição de limite. Dizemos que:
se, para todo número positivo , existir um número positivo tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos provar que e .

Passo 3

Então, nosso objetivo é mostrar que para todo , podemos encontrar um tal que se , então:
Simplificando, isso fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a escolha de . Observando o numerador e o denominador:
Agora, note que , então podemos escrever:
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, queremos que . Para garantir isso, basta que:
Como estamos assumindo que , e , podemos escolher:

Passo 6

Com essa escolha de , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe