Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Sabemos que para qualquer valor de
,
está sempre entre -1 e 1:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, e assim
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Conforme
se aproxima de 0,
cresce sem parar, o que faz com que
oscile rapidamente entre -1 e 1. Isso significa que
não tem um limite específico à medida que
se aproxima de 0.
Passo 4
Mesmo que
não tenha um limite definido, lembramos que o produto de
e
é limitado devido aos valores de cada seno:
Como
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0, o produto também será forçado a se aproximar de 0, mesmo que
esteja oscilando.
Resposta
Portanto, o limite é 0.
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Mostre que
, utilizando
(a) A definição de limite
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Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Mostre que
, utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)
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