Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
lim (x, y) (0,0) sin (y^2) sin (1x)

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite:
lim (x, y) (0,0) sin (y^2) sin (1x)
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para sin(y^2). Sabemos que para qualquer valor de y, sin(y^2) está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin(y^2) <= 1
À medida que y se aproxima de 0, y^2 também se aproxima de 0, e assim sin(y^2) se aproxima de sin(0) = 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar sin(1x). Conforme x se aproxima de 0, 1x cresce sem parar, o que faz com que sin(1x) oscile rapidamente entre -1 e 1. Isso significa que sin(1x) não tem um limite específico à medida que x se aproxima de 0.

Passo 4

Mesmo que sin(1x) não tenha um limite definido, lembramos que o produto de sin(y^2) e sin(1x) é limitado devido aos valores de cada seno:
-|sin(y^2)| <= sin(y^2) sin(1x) <= |sin(y^2)|
Como sin(y^2) se aproxima de 0 quando y se aproxima de 0, o produto também será forçado a se aproximar de 0, mesmo que sin(1x) esteja oscilando.

Resposta

Portanto, o limite é 0.

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