Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Sabemos que para qualquer valor de , está sempre entre -1 e 1:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, e assim se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Conforme se aproxima de 0, cresce sem parar, o que faz com que oscile rapidamente entre -1 e 1. Isso significa que não tem um limite específico à medida que se aproxima de 0.

Passo 4

Mesmo que não tenha um limite definido, lembramos que o produto de e é limitado devido aos valores de cada seno:
Como se aproxima de 0 quando se aproxima de 0, o produto também será forçado a se aproximar de 0, mesmo que esteja oscilando.

Resposta

Portanto, o limite é 0.

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