integral0^pi2 integralx^2 2 y^2 sen(x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^pi2 integralx^2 2 y^2 sin(x y) , dy , dx
Vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e troca da ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso define uma região de integração no plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Assim, primeiro integramos em relação a integral0^2 integral0^y 2 y^2 sin(x y) , dx , dy e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites.
Quando trocamos as ordens, varia de a , e para cada , varia de a (já que vai de a e vai de a ).
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral sin(x y) , dx = -1y cos(x y) + C . A função a ser integrada é 2 y^2 [ -1y cos(x y) ]0^y = -2 y [ cos(y cdot y) - cos(0) ] = -2 y [ cos(y^2) - 1 ] . Como 2 y (1 - cos(y^2)) é tratado como uma constante nesse passo, podemos integrar em relação a .
A integral de em relação a é:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 2 y (1 - cos(y^2)) , dy :
2 integral0^2 y , dy - 2 integral0^2 y cos(y^2) , dy
Podemos separar a integral:

Passo 6

Primeiro, calculemos 2 [ y^22 ]0^2 = 2 ( 42 - 0 ) = 2 times 2 = 4 :
2 times 12 integral0^4 cos(u) , du = integral0^4 cos(u) , du = sin(u) |0^4 = sin(4) - sin(0) = sin(4)
Agora, a segunda parte: . Aqui, vamos usar substituição.
Deixe , então . Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:
4 - sin(4)

Resposta

O valor da integral dupla é .

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