Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e troca da ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso define uma região de integração no plano .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Assim, primeiro integramos em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites.
Quando trocamos as ordens, varia de a , e para cada , varia de a (já que vai de a e vai de a ).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a . A função a ser integrada é . Como é tratado como uma constante nesse passo, podemos integrar em relação a .
A integral de em relação a é:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Podemos separar a integral:
Passo 6
Primeiro, calculemos :
Agora, a segunda parte: . Aqui, vamos usar substituição.