Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e troca da ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso define uma região de integração no plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Assim, primeiro integramos em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites.
Quando trocamos as ordens, varia de a , e para cada , varia de a (já que vai de a e vai de a ).
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A função a ser integrada é . Como é tratado como uma constante nesse passo, podemos integrar em relação a .
A integral de em relação a é:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Podemos separar a integral:

Passo 6

Primeiro, calculemos :
Agora, a segunda parte: . Aqui, vamos usar substituição.
Deixe , então . Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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