Determine o limite, se existir, ou veri fique que o limite nas existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do assunto de cálculo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são diferenças de potências que podemos fatorar.
-
Numerador:
é uma diferença de potências de 6, que pode ser fatorada como: -
Denominador:
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada como:
Passo 3
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Perceba que
aparece no numerador e denominador, então podemos simplificar:
Observação: Essa simplificação é válida desde que
, mas como estamos olhando o limite quando
tende a
, podemos considerar essa simplificação.
Passo 4
Agora, nossa expressão simplificada é
. Para encontrar o limite quando
, substituímos diretamente:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se a reta tangente ao gráfico de
em
tiver inclinação (coeficiente angular) negativa, então
.
Determine o limite, se existir, ou veri fique que o limite nas existe.
Determine os pontos do parabolóide
em que a normal é paralela à reta por
e (5,
.
Derive as seguintes funções