Determine o limite, se existir, ou veri fique que o limite nas existe. lim (x, y) (0,0) x^6-y^6x^3-y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do assunto de cálculo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) . Observa que tanto o numerador quanto o denominador são diferenças de potências que podemos fatorar.
  • Numerador: x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) é uma diferença de potências de 6, que pode ser fatorada como:
  • Denominador: é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada como:

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^6-y^6x^3-y^3 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)(x - y)(x^2 + xy + y^2)
Perceba que (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)(x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^3 + y^3)(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 + y^3 aparece no numerador e denominador, então podemos simplificar:
Observação: Essa simplificação é válida desde que , mas como estamos olhando o limite quando tende a , podemos considerar essa simplificação.

Passo 4

Agora, nossa expressão simplificada é lim(x, y) (0,0) (x^3 + y^3) = 0^3 + 0^3 = 0 + 0 = 0 . Para encontrar o limite quando , substituímos diretamente:

Resposta

O limite é igual a 0.

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