Determine o limite, se existir, ou veri fique que o limite nas existe. lim (x, y) (0,0) sen^2 x y(x y)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o limite quando se aproxima de da expressão . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que pode ser escrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno. Sabemos que:
Isso significa que, quando limz to 0 sen(z)z = 1 se aproxima de zero, se aproxima de 1.

Passo 4

No nosso caso, temos lim(x, y) to (0,0) sen(x y)x y = 1 . À medida que se aproxima de , também se aproxima de zero. Portanto, podemos aplicar a propriedade que mencionamos:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, que é o quadrado disso:
Como o limite de é 1, o limite do quadrado disso é:
( sen(x y)x y )^2

Resposta

O limite é igual a .

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