Determine os pontos do parabolóide z = 4x^2 + 9y^2 em que a normal é paralela à reta por (-2, 4, 3) e (5, -1,2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos do parabolóide onde a normal é paralela à reta que passa pelos pontos e .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o cálculo de normais a superfícies e o uso de vetores direcionais para determinar paralelismo entre vetores.
O que vamos precisar:
  • Conhecer como encontrar a normal a uma superfície implícita.
  • Entender como determinar se dois vetores são paralelos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta dada. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos fornecidos:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a normal ao parabolóide . Para isso, calculamos o gradiente da função que define a superfície. A função implícita pode ser escrita como:
O gradiente de é dado por:
Portanto, o vetor normal à superfície no ponto é .

Passo 4

Queremos que a normal seja paralela ao vetor diretor da reta . Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema, começamos pela terceira equação:
Agora, substituímos nas outras equações:

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos determinar substituindo na equação do parabolóide:
Vamos simplificar as frações:
Somando as duas frações:

Resposta

Os pontos do parabolóide onde a normal é paralela à reta dada são .

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