Determine os pontos do parabolóide em que a normal é paralela à reta por e (5, .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos do parabolóide onde a normal é paralela à reta que passa pelos pontos e .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o cálculo de normais a superfícies e o uso de vetores direcionais para determinar paralelismo entre vetores.
O que vamos precisar:
Conhecer como encontrar a normal a uma superfície implícita.
Entender como determinar se dois vetores são paralelos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta dada. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos fornecidos:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a normal ao parabolóide . Para isso, calculamos o gradiente da função que define a superfície. A função implícita pode ser escrita como:
O gradiente de é dado por:
Portanto, o vetor normal à superfície no ponto é .
Passo 4
Queremos que a normal seja paralela ao vetor diretor da reta . Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, começamos pela terceira equação:
Agora, substituímos nas outras equações:
Passo 6
Com os valores de e encontrados, podemos determinar substituindo na equação do parabolóide:
Vamos simplificar as frações:
Somando as duas frações:
Resposta
Os pontos do parabolóide onde a normal é paralela à reta dada são .