Determine o limite infinito em cada um dos itens e diga qual é a sua assintota vertical.
(b) lim x 1 2-x(x^2-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 2-x(x^2-1)^2. O que a gente precisa aqui é entender como a função se comporta quando se aproxima de 1. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e analisar as assíntotas verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador (x^2 - 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2 . Sabemos que pode ser fatorado como . Então, temos:
Isso ajuda a identificar melhor o comportamento da função perto de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite substituindo por valores próximos a 1. Observamos que:
  • Quando se aproxima de 1, o numerador tende a .
  • O denominador tende a .
Então, temos uma situação onde o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0, indicando que o limite pode ser infinito.

Passo 4

Para confirmar se o limite é ou , vamos analisar os sinais:
  • O termo é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo.
  • O termo também é sempre positivo.
  • O numerador é positivo quando se aproxima de 1 pela esquerda e também pela direita.
Portanto, a função tende para quando se aproxima de 1, tanto pela esquerda quanto pela direita.
Além disso, como o limite tende ao infinito em , isso indica que há uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

O limite é e a assíntota vertical está em .

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