Determine o limite infinito em cada um dos itens e diga qual é a sua assintota vertical.
(d) lim x 3^+ ln (x^2-9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e limites. Para resolver isso, precisamos entender como o logaritmo se comporta próximo ao ponto onde seu argumento se aproxima de zero ou infinito. Vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 3 pelo lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo: . Sabemos que pode ser fatorado como . Quando se aproxima de 3 pelo lado direito ( ), é um pouquinho maior que 3, por exemplo, 3.1, 3.01, etc. Isso significa que será um número positivo muito pequeno, e será próximo de 6.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) quando se aproxima de 3 pelo lado direito:
Como está se aproximando de 3 pelo lado direito, está se aproximando de 0 positivo e . Então, está se aproximando de 0 positivo.

Passo 4

Agora, olhamos para a função logarítmica , onde . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. Portanto, à medida que se aproxima de 3 pelo lado direito, se aproxima de 0 positivo, e tende a .

Resposta

lim x 3^+ ln (x^2-9) = -infty
A assíntota vertical é a reta .

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