Determine o limite infinito
lim x 1 x^2+2 xx^2-2 x+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite da expressão x^2+2 xx^2-2 x+1 quando x se aproxima de 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre limites de funções racionais.

Passo 2

Vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(1)^2 + 2(1)(1)^2 - 2(1) + 1 = 1 + 21 - 2 + 1 = 30
Aqui, vemos que o denominador está se aproximando de zero, enquanto o numerador está se aproximando de 3.

Passo 3

Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero e o numerador se aproxima de um número diferente de zero, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.
  • Se x se aproxima de 1 por valores maiores que 1: O denominador x^2-2x+1 é positivo e se aproxima de 0, então a fração tende a +infty.
  • Se x se aproxima de 1 por valores menores que 1: O denominador ainda é positivo e se aproxima de 0, então a fração também tende a +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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