Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
l)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, e para resolver vamos precisar verificar se ao substituir
no numerador e denominador obtemos uma forma indeterminada, como
. Se isso acontecer, vamos precisar fatorar os polinômios para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultaram em 0, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar os polinômios do numerador e do denominador. Isso nos ajudará a identificar e cancelar os fatores comuns.
Começamos com o numerador
. Vamos procurar por raízes desse polinômio, ou seja, valores de
que o tornam igual a zero. Testando
:
Então,
é um fator. Vamos dividir o polinômio por
para encontrar os outros fatores:
Agora, fatoramos
:
Portanto, o numerador fatorado é:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
. Novamente, testando
:
Então,
também é um fator do denominador. Dividindo o polinômio por
:
Agora, fatoramos
:
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a expressão:
Perceba que cancelamos um
dos dois lados.
Passo 6
Agora substituímos
na expressão simplificada:
Mas isso ainda nos dá uma forma indeterminada. Parece que precisamos verificar novamente ou considerar o comportamento próximo de 4.
Na verdade, houve um erro na fatoração do denominador. Ao reavaliar, a fatoração correta do denominador
é:
Então, o denominador fatorado corretamente é:
Agora, a expressão simplificada fica:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
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Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
h)
h)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
g)
g)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
t)
t)
Determine o limite infinito