Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
l) lim x 4 2 x^3-11 x^2+10 x+83 x^3-17 x^2+16 x+16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 4 2 x^3-11 x^2+10 x+83 x^3-17 x^2+16 x+16
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, e para resolver vamos precisar verificar se ao substituir no numerador e denominador obtemos uma forma indeterminada, como . Se isso acontecer, vamos precisar fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2(4)^3 - 11(4)^2 + 10(4) + 8 = 2(64) - 11(16) + 40 + 8 = 128 - 176 + 40 + 8 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
3(4)^3 - 17(4)^2 + 16(4) + 16 = 3(64) - 17(16) + 64 + 16 = 192 - 272 + 64 + 16 = 0
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultaram em 0, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar os polinômios do numerador e do denominador. Isso nos ajudará a identificar e cancelar os fatores comuns.
Começamos com o numerador 2(4)^3 - 11(4)^2 + 10(4) + 8 = 0 . Vamos procurar por raízes desse polinômio, ou seja, valores de 2x^3 - 11x^2 + 10x + 8 = (x - 4)(2x^2 - 3x - 2) que o tornam igual a zero. Testando 2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) :
(x - 4)(2x + 1)(x - 2)
Então, é um fator. Vamos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores:
Agora, fatoramos :
Portanto, o numerador fatorado é:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 3(4)^3 - 17(4)^2 + 16(4) + 16 = 0 . Novamente, testando 3x^3 - 17x^2 + 16x + 16 = (x - 4)(3x^2 - 5x - 4) :
3x^2 - 5x - 4 = (3x + 1)(x - 4)
Então, (x - 4)(3x + 1)(x - 4) = (x - 4)^2(3x + 1) também é um fator do denominador. Dividindo o polinômio por :
Agora, fatoramos :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a expressão:
(x - 4)(2x + 1)(x - 2)(x - 4)^2(3x + 1) = (2x + 1)(x - 2)(x - 4)(3x + 1)
Perceba que cancelamos um dos dois lados.

Passo 6

Agora substituímos 2(4) + 1(4 - 4)(3(4) + 1) = 90 times 13 na expressão simplificada:
3x^2 - 5x - 4 = (3x + 4)(x - 1)
Mas isso ainda nos dá uma forma indeterminada. Parece que precisamos verificar novamente ou considerar o comportamento próximo de 4.
Na verdade, houve um erro na fatoração do denominador. Ao reavaliar, a fatoração correta do denominador (x - 4)(3x + 4)(x - 1) é:
(2x + 1)(x - 2)(3x + 4)(x - 1)
Então, o denominador fatorado corretamente é:
Agora, a expressão simplificada fica:

Passo 7

Agora, substituímos 2(4) + 13(4) + 4 times 4 - 24 - 1 = 916 times 23 = 1848 = 38 na expressão simplificada:

Resposta

38

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