Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que atende a três condições específicas. Essas condições envolvem os limites da função quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1, além do valor que a função assume exatamente em . Para resolver isso, vamos precisar entender de limites e como construir um gráfico que respeite essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites dados:
Isso significa que quando se aproxima de 1 vindo pela esquerda, os valores de estão perto de 3, e quando se aproxima vindo pela direita, estão perto de 0.
Passo 3
Além disso, temos que:
Então, exatamente em , a função vale 2. Isso indica uma descontinuidade no ponto , porque o limite à esquerda é diferente do limite à direita, e o valor da função nesse ponto não coincide com nenhum dos limites.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos construir uma função que se comporta de acordo com essas condições. Uma maneira simples é definir uma função em partes:
Aqui, para , a função é constante igual a 3; para , é constante igual a 0; e exatamente em , a função vale 2.
Passo 5
No gráfico, isso ficaria assim:
Uma linha horizontal em para todos os menores que 1.
Um ponto aberto em indicando que a função não alcança esse valor no limite pela esquerda.
Um ponto aberto em para mostrar o limite pela direita.
Um ponto fechado em mostrando o valor exato da função em .
Uma linha horizontal em para todos os maiores que 1.
Resposta
O gráfico de uma função que satisfaz todas as condições dadas é uma função que vale 3 para , 2 exatamente em , e 0 para , apresentando uma descontinuidade no ponto .