Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que atende a três condições específicas. Essas condições envolvem os limites da função quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1, além do valor que a função assume exatamente em . Para resolver isso, vamos precisar entender de limites e como construir um gráfico que respeite essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites dados:
Isso significa que quando se aproxima de 1 vindo pela esquerda, os valores de estão perto de 3, e quando se aproxima vindo pela direita, estão perto de 0.

Passo 3

Além disso, temos que:
Então, exatamente em , a função vale 2. Isso indica uma descontinuidade no ponto , porque o limite à esquerda é diferente do limite à direita, e o valor da função nesse ponto não coincide com nenhum dos limites.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, vamos construir uma função que se comporta de acordo com essas condições. Uma maneira simples é definir uma função em partes:
Aqui, para , a função é constante igual a 3; para , é constante igual a 0; e exatamente em , a função vale 2.

Passo 5

No gráfico, isso ficaria assim:
  • Uma linha horizontal em para todos os menores que 1.
  • Um ponto aberto em indicando que a função não alcança esse valor no limite pela esquerda.
  • Um ponto aberto em para mostrar o limite pela direita.
  • Um ponto fechado em mostrando o valor exato da função em .
  • Uma linha horizontal em para todos os maiores que 1.

Resposta

O gráfico de uma função que satisfaz todas as condições dadas é uma função que vale 3 para , 2 exatamente em , e 0 para , apresentando uma descontinuidade no ponto .

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Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Determine o limite infinito
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
.
Determine o limite infinito