Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e usar esse esboço para determinar os valores de para os quais existe. A função é dada por:
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe. Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de por valores menores que (limite à esquerda) e por valores maiores que (limite à direita), ambos os limites devem existir e ser iguais.
Então, precisamos verificar isso para diferentes valores de no domínio da função.
Passo 3
Vamos começar esboçando o gráfico da função para visualizar melhor:
Para :
É uma função exponencial crescente.
Passa por (0,1) já que .
Para :
É uma reta com inclinação 1 e intercepto em .
Passa por pontos como (0, -1) e (1, 0).
Para :
Logaritmo natural, que cresce lentamente.
Passa por (1,0) já que .
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos de transição onde a definição da função muda: e .
No ponto :
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):
Como , o limite não existe em .
No ponto :
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):
Aqui, ambos os limites são iguais, então o limite existe em .
Passo 5
Agora, vamos considerar os demais valores de :
Para : A função é , que é contínua em todo o seu domínio. Portanto, o limite existe para todo .
Para : A função é , também contínua nesse intervalo. Assim, o limite existe para todo .
Para : A função é , contínua para . Logo, o limite existe para todo .
Resposta
O limite existe para todos os valores de exceto em . Ou seja, existe para todo com .