Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e usar esse esboço para determinar os valores de para os quais existe. A função é dada por:
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe. Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de por valores menores que (limite à esquerda) e por valores maiores que (limite à direita), ambos os limites devem existir e ser iguais.
Então, precisamos verificar isso para diferentes valores de no domínio da função.

Passo 3

Vamos começar esboçando o gráfico da função para visualizar melhor:
  1. Para :
    • É uma função exponencial crescente.
    • Passa por (0,1) já que .
  2. Para :
    • É uma reta com inclinação 1 e intercepto em .
    • Passa por pontos como (0, -1) e (1, 0).
  3. Para :
    • Logaritmo natural, que cresce lentamente.
    • Passa por (1,0) já que .

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos de transição onde a definição da função muda: e .

No ponto :

  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como , o limite não existe em .

No ponto :

  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Aqui, ambos os limites são iguais, então o limite existe em .

Passo 5

Agora, vamos considerar os demais valores de :
  • Para : A função é , que é contínua em todo o seu domínio. Portanto, o limite existe para todo .
  • Para : A função é , também contínua nesse intervalo. Assim, o limite existe para todo .
  • Para : A função é , contínua para . Logo, o limite existe para todo .

Resposta

O limite existe para todos os valores de exceto em . Ou seja, existe para todo com .

Exercícios relacionados

Determine o limite infinito
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
t)
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
.