Determine o limite infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver alguns limites que pegam no comportamento das funções quando a variável se aproxima de certos valores. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e para resolver esses limites, vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções próximas aos pontos de interesse, especialmente quando envolve frações e potências. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
Aqui, estamos interessados no comportamento da função quando se aproxima de 5 pelo lado direito (valores maiores que 5).
Quando se aproxima de 5, o denominador se aproxima de 0. Como estamos vindo do lado positivo ( ), será um número muito pequeno positivo. O numerador se aproxima de 6.
Então, temos uma fração onde o numerador está se aproximando de 6 e o denominador está se aproximando de 0 positivo. Dividir um número positivo por um número muito pequeno positivo resulta em um valor que vai para .

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
Dessa vez, se aproxima de 5 pelo lado esquerdo (valores menores que 5).
Novamente, o denominador se aproxima de 0, mas como estamos vindo do lado negativo ( ), será um número muito pequeno negativo. O numerador continua se aproximando de 6.
Dividir um número positivo (6) por um número muito pequeno negativo resulta em um valor que vai para .

Passo 4

Vamos para o terceiro limite:
Aqui, se aproxima de 2. O denominador é sempre positivo, independente de se aproximar de 2 pela direita ou pela esquerda, já que elevamos ao quadrado. O numerador se aproxima de 4.
Então, temos uma fração onde o numerador está se aproximando de 4 e o denominador está se aproximando de 0 positivo. Dividir um número positivo por um número muito pequeno positivo resulta em um valor que vai para .

Passo 5

Por último, vamos resolver:
Aqui, se aproxima de 3 pelo lado esquerdo.
O numerador se aproxima de , um número positivo. O denominador envolve uma potência ímpar. Como está vindo do lado negativo ( ), será negativo, e elevado à quinta potência continua negativo.
Então, temos uma fração onde o numerador é positivo e o denominador está se aproximando de 0 negativo. Dividir um número positivo por um número muito pequeno negativo resulta em um valor que vai para .

Resposta

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Calcule os limites:
g)
Suponha que é um número real não-nulo, calcule, se existir, o limite
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.