Suponha que k é um número real não-nulo, calcule, se existir, o limite
lim x 0 raizx^2+k-raizx+kk x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e uma técnica chamada racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx^2+k-raizx+kk x times raizx^2+k + raizx+kraizx^2+k + raizx+k é . Então, fazemos assim:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
  • Numerador:
(raizx^2+k - raizx+k)(raizx^2+k + raizx+k) = (x^2+k) - (x+k) = x^2 - x
  • Denominador:
k x (raizx^2+k + raizx+k)
Então, a expressão fica:
x^2 - xk x (raizx^2+k + raizx+k)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. No numerador, podemos fatorar um x(x - 1)k x (raizx^2+k + raizx+k) = x - 1k (raizx^2+k + raizx+k) :
Note que agora podemos cancelar o que está no numerador e no denominador.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite substituindo 0 - 1k (raiz0 + k + raiz0 + k) = -1k (2raizk) = -12 k raizk :

Resposta

O limite é .

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