Existe um número a tal que
lim x -2 3 x^2+a x+a+3x^2-x+2
existe? Em caso afirmativo encontre a e o valor do limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se existe um número limx -2 3x^2 + a x + a + 3x^2 - x + 2 tal que o limite
existe. Se existir, precisamos encontrar o valor de e o próprio limite. Vamos usar conceitos de limites e funções polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite de uma função fracionária exista em um ponto, o denominador não pode ser zero nesse ponto. Se o denominador for zero, precisamos que o numerador também seja zero para que possamos simplificar a expressão.
No nosso caso, o denominador é (-2)^2 - (-2) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8 . Vamos ver o que ocorre quando se aproxima de -2:
Como o denominador vale 8 quando , que é diferente de zero, não temos problema para o limite existir. Ou seja, o limite existe para qualquer valor de . Mas vamos calcular ele.

Passo 3

Como o denominador não é zero em 3(-2)^2 + a(-2) + a + 3 = 3(4) - 2a + a + 3 = 12 - a + 3 = 15 - a , podemos simplesmente substituir 15 - a8 por -2 na expressão para encontrar o limite.
Vamos calcular o numerador:
E o denominador já sabemos que é 8.
Então, o limite fica:

Resposta

Existe para qualquer valor de , e o valor do limite é .

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