Existe um número
tal que
existe? Em caso afirmativo encontre
e o valor do limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se existe um número
tal que o limite
existe. Se existir, precisamos encontrar o valor de
e o próprio limite. Vamos usar conceitos de limites e funções polinomiais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite de uma função fracionária exista em um ponto, o denominador não pode ser zero nesse ponto. Se o denominador for zero, precisamos que o numerador também seja zero para que possamos simplificar a expressão.
No nosso caso, o denominador é
. Vamos ver o que ocorre quando
se aproxima de -2:
Como o denominador vale 8 quando
, que é diferente de zero, não temos problema para o limite existir. Ou seja, o limite existe para qualquer valor de
. Mas vamos calcular ele.
Passo 3
Como o denominador não é zero em
, podemos simplesmente substituir
por -2 na expressão para encontrar o limite.
Vamos calcular o numerador:
E o denominador já sabemos que é 8.
Então, o limite fica:
Resposta
Existe para qualquer valor de
, e o valor do limite é
.