Determine o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que pede para determinar o valor de
. A gente vai usar o conteúdo de limites e algumas ferramentas de cálculo como a regra de L’Hospital e séries de Taylor para chegar na resposta. Precisamos entender como as funções
e
se comportam perto de zero para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Como estamos tendo uma forma indeterminada
, podemos aplicar a regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Substituindo
novamente na nova expressão:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a regra de L’Hospital uma segunda vez.
Passo 5
Derivando novamente numerador e denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Substituindo
na última expressão:
Resposta
O limite é
.
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Determine as seguintes derivadas:
, em que
, em que
Determine as seguintes derivadas:
, em que
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
c) ;
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