Determine o limite
lim x 0 sin x-xe^x+e^-x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para determinar o valor de . A gente vai usar o conteúdo de limites e algumas ferramentas de cálculo como a regra de L’Hospital e séries de Taylor para chegar na resposta. Precisamos entender como as funções e se comportam perto de zero para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos sin 0 - 0e^0 + e^-0 - 2 = 0 - 01 + 1 - 2 = 00 diretamente na expressão:
Como estamos tendo uma forma indeterminada , podemos aplicar a regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx (sin x - x) = cos x - 1 :
Derivada do numerador:
ddx (e^x + e^-x - 2) = e^x - e^-x
Derivada do denominador:
limx 0 cos x - 1e^x - e^-x
Agora, o limite fica:

Passo 4

Substituindo cos 0 - 1e^0 - e^-0 = 1 - 11 - 1 = 00 novamente na nova expressão:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a regra de L’Hospital uma segunda vez.

Passo 5

Derivando novamente numerador e denominador:
Derivada do numerador:
ddx (cos x - 1) = -sin x
Derivada do denominador:
ddx (e^x - e^-x) = e^x + e^-x
Agora, o limite fica:
limx 0 -sin xe^x + e^-x

Passo 6

Substituindo -sin 0e^0 + e^-0 = 01 + 1 = 0 na última expressão:

Resposta

O limite é .

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