Determine as seguintes derivadas: d/y d/x, em que x^3 + y^3 - 3 a x y = 0, em que a in R

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada . Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente em derivadas implícitas. Vamos precisar usar a regra de derivação para funções que estão misturadas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a taxa de variação de em relação a . Mas como a equação mistura e juntos, não dá para isolar facilmente . Por isso, usamos a derivada implícita, que nos ajuda a diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a usa a regra da cadeia: .
  3. A derivada de em relação a também usa a regra do produto:
    • Primeiro, derivamos e mantemos : .
    • Depois, derivamos e mantemos : .
    Juntando os dois, fica .

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas na equação:

Passo 5

Vamos isolar os termos que têm de um lado e os termos sem ela do outro:

Passo 6

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 3:

Resposta

A derivada é .

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