Determine as seguintes derivadas:
, em que
, em que
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada
. Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente em derivadas implícitas. Vamos precisar usar a regra de derivação para funções que estão misturadas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa a taxa de variação de
em relação a
. Mas como a equação mistura
e
juntos, não dá para isolar facilmente
. Por isso, usamos a derivada implícita, que nos ajuda a diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
-
A derivada de
em relação a é . -
A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: . -
A derivada de
em relação a também usa a regra do produto: - Primeiro, derivamos
e mantemos : . - Depois, derivamos
e mantemos : .
Juntando os dois, fica. - Primeiro, derivamos
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas na equação:
Passo 5
Vamos isolar os termos que têm
de um lado e os termos sem ela do outro:
Passo 6
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 3:
Resposta
A derivada
é
.
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Determine as seguintes derivadas:
, em que
Determine as seguintes derivadas:
, em que
Determine o limite
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
c) ;
c)