Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever um sistema de equações diferenciais em forma matricial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes das variáveis e os termos independentes, e então organizar tudo em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema que nos foi dado:
& d xd t = x - y + z + t - 1 & d yd t = 2x + y - z - 3t^2 & d zd t = x + y + z + t^2 - t + 2
Aqui, temos três equações envolvendo as derivadas de , e em relação ao tempo .
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes de cada variável nas equações. Esses coeficientes vão formar a matriz dos coeficientes A = 1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 1 & 1 & 1 .
Na primeira equação:
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é -1
Coeficiente de é 1
Na segunda equação:
Coeficiente de é 2
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é -1
Na terceira equação:
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é 1
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos identificar os termos que não estão multiplicando as variáveis B(t) = t - 1 -3t^2 t^2 - t + 2 , ou . Esses são os termos independentes que formarão o vetor .
Na primeira equação:
Na segunda equação:
Na terceira equação:
Então, o vetor é:
Passo 5
Finalmente, vamos reunir tudo na forma matricial. A forma geral de um sistema de equações diferenciais lineares é:
dXdt = AX + B(t)
Onde ddt x y z = 1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 1 & 1 & 1 x y z + t - 1 -3t^2 t^2 - t + 2 é o vetor das variáveis , e .
Então, substituindo e , temos:
$$
\frac{d}{dt}
+
$$
Resposta
A forma matricial do sistema é:
$$
\frac{d}{dt} ddt x y z = 1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 1 & 1 & 1 x y z + t - 1 -3t^2 t^2 - t + 2