Expresse o número 3, 142857=3,142857142857 ldots como a razão de dois inteiros.
Utilizando o teste do n-ésimo termo
Nos Exercícios 27-34, use o teste do n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo.
27. sumn=1^infty nn+10

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado da questão. Temos a série infinita:
sumn=1^infty nn+10
O objetivo é determinar se essa série é divergente utilizando o teste do n-ésimo termo para divergência. Para isso, vamos precisar entender o que é esse teste e como aplicá-lo.

Passo 2

O que é o teste do n-ésimo termo?
O teste do n-ésimo termo é uma ferramenta simples usada para verificar a convergência ou divergência de uma série. Ele afirma que:
  • Se o limite do termo geral da série, quando n tende ao infinito, não for zero, ou seja,
limn to infty an neq 0
então a série sum an é divergente.
  • Se o limite for zero, o teste não é conclusivo, e precisamos usar outros métodos para determinar a convergência.

Passo 3

Aplicando o teste à nossa série:
Nosso termo geral é:
an = nn+10
Vamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito:
limn to infty nn+10

Passo 4

Calculando o limite:
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por n:
limn to infty nn+10 = limn to infty 11 + 10n
À medida que n tende ao infinito, 10n tende a zero:
limn to infty 11 + 0 = 11 = 1

Passo 5

Interpretando o resultado:
O limite do termo geral é 1, que não é zero. De acordo com o teste do n-ésimo termo, se o limite do termo geral não for zero, a série é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty nn+10 é divergente pelo teste do n-ésimo termo, pois limn to infty nn+10 = 1 neq 0.

Exercícios relacionados