Verifique se a função f é contínua no ponto 1,2.
f(x, y) = { xy / (y - 2x), se y ≠ 2x; 1, se y = 2x }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve conceitos de continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, precisamos analisar os limites da função quando nos aproximamos de de diferentes direções e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

A função é definida de duas maneiras:
  • Quando , .
  • Quando , .
Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e verificar se esse limite é igual a .

Passo 3

Primeiro, calculamos . Como quando e , usamos a segunda parte da definição:

Passo 4

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos substituir , onde tende a 0.
Substituindo na função:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
À medida que tende a 0, o termo tende ao infinito, o que sugere que o limite não existe ou tende a infinito.

Passo 6

Para confirmar, analisamos o limite ao longo de diferentes caminhos. Por exemplo, se nos aproximarmos de ao longo da linha , usamos :
Então, o limite é 1.
Se nos aproximarmos ao longo da linha com , vimos que o limite tende a infinito.

Passo 7

Como os limites ao se aproximar de por diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados