Verifique se a função
é contínua no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso envolve conceitos de continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, precisamos analisar os limites da função quando nos aproximamos de
de diferentes direções e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
A função
é definida de duas maneiras:
- Quando
, . - Quando
, .
Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e verificar se esse limite é igual a
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
. Como
quando
e
, usamos a segunda parte da definição:
Passo 4
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos substituir
, onde
tende a 0.
Substituindo na função:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
À medida que
tende a 0, o termo
tende ao infinito, o que sugere que o limite não existe ou tende a infinito.
Passo 6
Para confirmar, analisamos o limite ao longo de diferentes caminhos. Por exemplo, se nos aproximarmos de
ao longo da linha
, usamos
:
Então, o limite é 1.
Se nos aproximarmos ao longo da linha
com
, vimos que o limite tende a infinito.
Passo 7
Como os limites ao se aproximar de
por diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.