Determine o limite das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao tema Limites, especificamente tratando de limites no infinito envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos usar técnicas de algebra de limites e racionalização.
Passo 2
Primeiro, observamos que à medida que
tende ao infinito,
domina os termos dentro da raiz. Então, temos
. Para simplificar, vamos fatorar
de dentro da raiz:
Como
tende ao infinito, assumimos que
é positivo, então
. Portanto:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão no limite original:
Podemos fatorar
na expressão:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, usamos a aproximação para grandes valores de
:
Isso é válido porque para
quando
é pequeno.
Passo 5
Aplicando a aproximação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, tirando o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
A temperatura em qualquer ponto
do plano é dada por
. Qual a temperatura máxima e mínima em uma região R entre as curvas
e
e
no primeiro quadrante?
Determine os pontos críticos da função
e classifiqueos.
Determine o limite das seguintes funções:
O plano
corta o cone
gerando uma curva. Encontre o ponto dessa curva que está mais próximo da origem. Utilize os multiplicadores de Lagrange.