Determine o limite das seguintes funções:
lim x infty(raizx^2+2 x+3-x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao tema Limites, especificamente tratando de limites no infinito envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos usar técnicas de algebra de limites e racionalização.

Passo 2

Primeiro, observamos que à medida que raizx^2+2x+3 = raizx^2(1 + 2x + 3x^2) = |x|raiz1 + 2x + 3x^2 tende ao infinito, raizx^2+2x+3 = xraiz1 + 2x + 3x^2 domina os termos dentro da raiz. Então, temos . Para simplificar, vamos fatorar de dentro da raiz:
Como tende ao infinito, assumimos que é positivo, então . Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão no limite original:
lim x infty(raizx^2+2 x+3-x) = lim x infty(xraiz1 + 2x + 3x^2 - x)
Podemos fatorar x(raiz1 + 2x + 3x^2 - 1) na expressão:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, usamos a aproximação para grandes valores de raiz1 + 2x + 3x^2 approx 1 + 12(2x + 3x^2) :
Isso é válido porque para quando é pequeno.

Passo 5

Aplicando a aproximação:
x(1 + 12(2x + 3x^2) - 1) = x(12cdot 2x + 12cdot 3x^2)
Simplificando:
x(1x + 32x^2) = 1 + 32x

Passo 6

Agora, tirando o limite quando lim x infty(1 + 32x) = 1 + 0 = 1 tende ao infinito:

Resposta

O limite é igual a .

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