A temperatura em qualquer ponto
do plano é dada por
. Qual a temperatura máxima e mínima em uma região R entre as curvas
e
e
no primeiro quadrante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a temperatura máxima e mínima na região
definida entre as curvas
,
e os círculos
e
no primeiro quadrante. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região
. No primeiro quadrante,
e
são positivos. As curvas
e
são círculos com raios 1 e 2, respectivamente. A linha
vai de
até
dentro desses círculos. A região
é, então, o setor entre esses círculos, acima do eixo
e abaixo da linha
.
Passo 3
Para encontrar os extremos da função temperatura
na região
, devemos verificar:
- Pontos críticos internos: onde as derivadas parciais de
são zero. - Ao longo das fronteiras: nas curvas que definem
.
Passo 4
Vamos achar os pontos críticos internos. Calculamos as derivadas parciais de
:
Igualando a zero:
Da primeira equação,
ou
. No primeiro quadrante,
está na fronteira
, então consideramos
. Substituindo na segunda equação:
Portanto, temos um ponto crítico interno em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a fronteira da região
. Temos quatro partes:
- Círculo menor:
- Círculo maior:
- Eixo
- Linha
Vamos avaliar a função
em cada uma dessas fronteiras.
Passo 6
1. No círculo menor
:
Usamos coordenadas polares:
,
, com
.
Substituindo na
:
Precisamos maximizar e minimizar essa expressão para
(pois
).
2. No círculo maior
:
Similarmente, com
:
3. No eixo
:
Aqui,
, então:
Variando de 1 a 2 (já que
).
4. Na linha
:
Aqui,
. Substituindo na
:
Com
.
Passo 7
Vamos agora calcular os valores de
nos pontos críticos e nas fronteiras.
Ponto interno
:
No eixo
:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
Na linha
:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Calculando
em
:
Nos extremos:
-
, (valor menor) -
,
Nos círculos:
Para simplificação, os valores máximos e mínimos ocorrem nos limites calculados acima.
Resposta
A temperatura mínima na região
é aproximadamente
e a temperatura máxima é
.
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e classifiqueos.
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no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?
Determine o limite das seguintes funções:
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