A temperatura em qualquer ponto do plano é dada por . Qual a temperatura máxima e mínima em uma região R entre as curvas e e no primeiro quadrante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a temperatura máxima e mínima na região definida entre as curvas , e os círculos e no primeiro quadrante. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região . No primeiro quadrante, e são positivos. As curvas e são círculos com raios 1 e 2, respectivamente. A linha vai de até dentro desses círculos. A região é, então, o setor entre esses círculos, acima do eixo e abaixo da linha .

Passo 3

Para encontrar os extremos da função temperatura na região , devemos verificar:
  1. Pontos críticos internos: onde as derivadas parciais de são zero.
  2. Ao longo das fronteiras: nas curvas que definem .

Passo 4

Vamos achar os pontos críticos internos. Calculamos as derivadas parciais de :
Igualando a zero:
Da primeira equação, ou . No primeiro quadrante, está na fronteira , então consideramos . Substituindo na segunda equação:
Portanto, temos um ponto crítico interno em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a fronteira da região . Temos quatro partes:
  1. Círculo menor:
  2. Círculo maior:
  3. Eixo
  4. Linha
Vamos avaliar a função em cada uma dessas fronteiras.

Passo 6

1. No círculo menor :
Usamos coordenadas polares: , , com .
Substituindo na :
Precisamos maximizar e minimizar essa expressão para (pois ).
2. No círculo maior :
Similarmente, com :
3. No eixo :
Aqui, , então:
Variando de 1 a 2 (já que ).
4. Na linha :
Aqui, . Substituindo na :
Com .

Passo 7

Vamos agora calcular os valores de nos pontos críticos e nas fronteiras.
Ponto interno :
No eixo :
  • Mínimo: em
  • Máximo: em
Na linha :
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando em :
Nos extremos:
  • , (valor menor)
  • ,
Nos círculos:
Para simplificação, os valores máximos e mínimos ocorrem nos limites calculados acima.

Resposta

A temperatura mínima na região é aproximadamente e a temperatura máxima é .

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