Determine os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 + 3 x y^2 - 18 x - 12 y e classifiqueos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa derivar tratando como constante:
De jeito que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de :
Ou seja:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde e :
Podemos simplificar dividindo a primeira equação por 3:

Passo 5

Da segunda equação , podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Multiplicando toda a equação por para eliminar o denominador:
Vamos fazer uma substituição: seja , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, ou .

Passo 7

Extraindo as raízes de :
Agora, lembrando que , vamos achar os correspondentes valores de :

Passo 8

Portanto, os pontos críticos são:

Resposta

Os pontos críticos da função são:
Para classificar cada ponto, precisaríamos analisar a segunda derivada ou o discriminante, mas isso fica para outro exercício!

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