Determine os pontos críticos da função
e classifiqueos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa derivar
tratando
como constante:
De jeito que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
:
Ou seja:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde
e
:
Podemos simplificar dividindo a primeira equação por 3:
Passo 5
Da segunda equação
, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 6
Multiplicando toda a equação por
para eliminar o denominador:
Vamos fazer uma substituição: seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então,
ou
.
Passo 7
Extraindo as raízes de
:
Agora, lembrando que
, vamos achar os correspondentes valores de
:
Passo 8
Portanto, os pontos críticos são:
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
Para classificar cada ponto, precisaríamos analisar a segunda derivada ou o discriminante, mas isso fica para outro exercício!