Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as regiões do plano
onde se aplicam as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de primeira ordem. Esse teorema garante que, se a função que define a EDO e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas nessas regiões, então existe uma solução única passando por qualquer ponto dentro delas. Para resolver isso, vamos precisar analisar a continuidade das funções e suas derivadas parciais para cada uma das EDOs apresentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
. A gente precisa garantir que o denominador
não seja zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos achar onde
. Além disso, tanto
quanto sua derivada parcial em relação a
devem ser contínuas nessas regiões.
Passo 3
Agora, a segunda equação:
. Aqui, o que importa é que o que está dentro da raiz quadrada,
, seja maior ou igual a zero, porque raiz de número negativo não é real. Então, vamos definir onde
. Além disso, a função
e sua derivada parcial em relação a
precisam ser contínuas nessas regiões.
Passo 4
Por último, a terceira equação:
. Aqui, temos outro denominador,
, que não pode ser zero. Então, precisamos encontrar onde
. Também precisamos verificar a continuidade de
e de sua derivada parcial em relação a
nessas regiões.
Resposta
As regiões do plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são:
- Para
: todas as regiões onde . - Para
: dentro do círculo definido por . - Para
: todas as regiões onde .
Exercícios relacionados
(1.0) Encontre o limite:
Determine o limite da sequência
.
Use o teste de comparação para verificar a convergência de
.
Determine se a sequência
converge.