Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as regiões do plano onde se aplicam as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de primeira ordem. Esse teorema garante que, se a função que define a EDO e sua derivada parcial em relação a forem contínuas nessas regiões, então existe uma solução única passando por qualquer ponto dentro delas. Para resolver isso, vamos precisar analisar a continuidade das funções e suas derivadas parciais para cada uma das EDOs apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação: . A gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos achar onde . Além disso, tanto quanto sua derivada parcial em relação a devem ser contínuas nessas regiões.

Passo 3

Agora, a segunda equação: . Aqui, o que importa é que o que está dentro da raiz quadrada, , seja maior ou igual a zero, porque raiz de número negativo não é real. Então, vamos definir onde . Além disso, a função e sua derivada parcial em relação a precisam ser contínuas nessas regiões.

Passo 4

Por último, a terceira equação: . Aqui, temos outro denominador, , que não pode ser zero. Então, precisamos encontrar onde . Também precisamos verificar a continuidade de e de sua derivada parcial em relação a nessas regiões.

Resposta

As regiões do plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são:
  1. Para : todas as regiões onde .
  2. Para : dentro do círculo definido por .
  3. Para : todas as regiões onde .

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