Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dâdas em torno do eixo especificado. y = x^3, y = 2x - x^2; em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido formado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o Método dos Cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é ideal quando rotacionamos em torno do eixo e temos as funções em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos as funções:
Resolvendo essa equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como estamos trabalhando com as funções no contexto real, consideramos os limites de entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método dos Cilindros. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância do cilindro ao eixo de rotação ( -eixo).
  • e são as funções que delimitam a região.
Aqui, e .

Passo 4

Vamos montar a integral:

Passo 5

Agora, integraremos termo a termo:
Avaliado de a :
Vamos calcular essa expressão:

Passo 6

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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