Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dâdas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido formado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o Método dos Cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é ideal quando rotacionamos em torno do eixo
e temos as funções em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos as funções:
Resolvendo essa equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como estamos trabalhando com as funções no contexto real, consideramos os limites de
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método dos Cilindros. A fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a distância do cilindro ao eixo de rotação ( -eixo). -
e são as funções que delimitam a região.
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Passo 5
Agora, integraremos termo a termo:
Avaliado de
a
:
Vamos calcular essa expressão:
Passo 6
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.