Determine os limites, caso exista: lim x 2 3 x^2-2 x-8x^2-4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite de uma função quando lim x 2 3 x^2-2 x-8x^2-4 se aproxima de 2. A função é:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo, especialmente importante para entender o comportamento de funções perto de certos pontos.

Passo 2

Vamos começar substituindo 3(2)^2 - 2(2) - 8(2)^2 - 4 = 12 - 4 - 84 - 4 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar os termos que causam essa indeterminação.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
3x^2 - 2x - 8 = 3x^2 + 4x - 6x - 8 = (3x^2 + 4x) + (-6x - 8) = x(3x + 4) - 2(3x + 4) = (3x + 4)(x - 2)
Agora, vamos fatorar o numerador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são 4 e -6.
Assim, reescrevemos o numerador:

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
3x^2 - 2x - 8x^2 - 4 = (3x + 4)(x - 2)(x - 2)(x + 2)
Percebemos que o termo 3x + 4x + 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que :

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos facilmente calcular o limite substituindo lim x 2 3x + 4x + 2 = 3(2) + 42 + 2 = 6 + 44 = 104 = 52 :

Resposta

O limite é .

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À medida que o foguete se afasta da superfície da Terra, há é uma distância D onde o foguete perde parte de sua massa, já que não precisa mais do excesso de armazenamento de combustível. Pode-se escrever esta função como:
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