Determine os limites, caso exista: lim x 1 x-raizxx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 1 x-raizxx-1. Esse exercício é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão indeterminação quando tentamos substituir diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1 - raiz11 - 1 = 1 - 10 = 00
Esse resultado é uma indeterminação do tipo 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver limites que resultam em 00 é racionalizar o numerador ou o denominador. Nesse caso, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada de x - raizx, que é x + raizx:
x - raizxx - 1 cdot x + raizxx + raizx = (x - raizx)(x + raizx)(x - 1)(x + raizx)

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
(x - raizx)(x + raizx) = x^2 - (raizx)^2 = x^2 - x
Então, temos:
x^2 - x(x - 1)(x + raizx)

Passo 5

Podemos fatorar o numerador:
x^2 - x = x(x - 1)
Substituindo de volta na expressão:
x(x - 1)(x - 1)(x + raizx)

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo (x - 1) que está no numerador e no denominador:
xx + raizx

Passo 7

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo x = 1:
11 + raiz1 = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite é 12.

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