Determine os limites, caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão indeterminação quando tentamos substituir diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica comum para resolver limites que resultam em
é racionalizar o numerador ou o denominador. Nesse caso, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada de
, que é
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 5
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o termo
que está no numerador e no denominador:
Passo 7
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.
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Um estudante de psicologia observou que quando um rato era enviado repetidamente para um labirinto, o tempo necessário para ele atravessar o labirinto na n-ésima tentativa era aproximadamente
minutos. O que acontecerá com o tempo necessário para o rato atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? O rato será capaz de atravessar o labirinto em menos de 5 minutos?
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Determine os limites, caso exista:
Determine os valores de
ou
para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado: