Determine os valores de ou para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida por partes, ou seja, ela muda a fórmula dependendo do valor de . O objetivo é encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o intervalo. Isso significa que não pode ter “saltos” ou interrupções na função quando mudamos de uma parte para outra. Vamos precisar dos conceitos de continuidade e de como igualar os limites das funções nas pontas onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de para , que é em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o valor da função quando se aproxima de pela esquerda precisa ser igual ao valor quando é igual a na segunda parte da função.
Então, calculamos:
E a função na segunda parte em é:
Para ser contínua:
Essa é a nossa primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o ponto onde a função muda de para , que é em . Novamente, para a continuidade, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor quando é igual a na terceira parte da função.
Calculamos:
E a função na terceira parte em é:
Para ser contínua:
Essa é a nossa segunda equação:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Passo 5
Com o valor de encontrado, vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Resposta
Os valores são e para que a função seja contínua em todo o intervalo.