Determine os valores de k, c, A ou B para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado: f(x) = { 2x - 2, se x < -1; Ax + B, se x ∈ [-1, 1]; 5x + 7, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida por partes, ou seja, ela muda a fórmula dependendo do valor de . O objetivo é encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o intervalo. Isso significa que não pode ter “saltos” ou interrupções na função quando mudamos de uma parte para outra. Vamos precisar dos conceitos de continuidade e de como igualar os limites das funções nas pontas onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de para , que é em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o valor da função quando se aproxima de pela esquerda precisa ser igual ao valor quando é igual a na segunda parte da função.
Então, calculamos:
E a função na segunda parte em é:
Para ser contínua:
Essa é a nossa primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o ponto onde a função muda de para , que é em . Novamente, para a continuidade, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor quando é igual a na terceira parte da função.
Calculamos:
E a função na terceira parte em é:
Para ser contínua:
Essa é a nossa segunda equação:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 5

Com o valor de encontrado, vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e para que a função seja contínua em todo o intervalo.

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