Determine os limites se existirem: lim x 0 x 1ln x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções logarítmicas e multiplicações. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta perto de 0 e aplicar algumas técnicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das partes da expressão à medida que se aproxima de 0. Sabemos que quando tende a 0, tende a menos infinito ( ). Então, tende a 0, porque é 0.

Passo 3

Agora, multiplicamos x cdot 1ln x por . Temos:
À medida que tende a 0, estamos basicamente multiplicando um número que tende a 0 por outro que também tende a 0. Mas precisamos entender qual desses termos domina o comportamento do produto.

Passo 4

Para entender melhor, vamos reescrever a expressão:
xln x
Agora, temos uma forma de , que é uma indeterminação do tipo 0. Precisamos avaliar esse limite de forma mais precisa.

Passo 5

Uma maneira de resolver isso é usar uma substituição. Vamos fazer x = e^-t . Conforme e^-tln (e^-t) = e^-t-t se aproxima de 0, tende a . Reescrevendo em termos de :
Substituindo na expressão original:

Passo 6

Agora, analisamos o limite quando limt to +infty e^-t-t tende a :
Aqui, tende a 0 muito mais rapidamente que tende a . Portanto, o limite do produto será 0.

Resposta

O limite é 0.

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