Determine os limites se existirem:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções logarítmicas e multiplicações. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta perto de 0 e aplicar algumas técnicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das partes da expressão à medida que
se aproxima de 0. Sabemos que quando
tende a 0,
tende a menos infinito (
). Então,
tende a 0, porque
é 0.
Passo 3
Agora, multiplicamos
por
. Temos:
À medida que
tende a 0, estamos basicamente multiplicando um número que tende a 0 por outro que também tende a 0. Mas precisamos entender qual desses termos domina o comportamento do produto.
Passo 4
Para entender melhor, vamos reescrever a expressão:
Agora, temos uma forma de
, que é uma indeterminação do tipo 0. Precisamos avaliar esse limite de forma mais precisa.
Passo 5
Uma maneira de resolver isso é usar uma substituição. Vamos fazer
. Conforme
se aproxima de 0,
tende a
. Reescrevendo
em termos de
:
Substituindo na expressão original:
Passo 6
Agora, analisamos o limite quando
tende a
:
Aqui,
tende a 0 muito mais rapidamente que
tende a
. Portanto, o limite do produto será 0.
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
e)
Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, prove que: se
é uma função contínua na origem e
é o caminho fechado
, então
.[DICA:
.]
Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo:
.
pontos