Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, prove que: se f é uma função contínua na origem e Cr é o caminho fechado z=e^i theta, 0 <= theta <= 2 pi, então lim r 0 ointCr f(z)z d z=2 pi i f(0).[DICA: f(z)=f(0)+(f(z)-f(0)).]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando só a definição de integral de linha, que se limr 0 ointCr f(z)z dz = 2pi i f(0) é uma função contínua na origem e é o caminho fechado dado por para , então:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha no contexto de funções complexas e aplicar a definição de limite. A dica nos sugere quebrar em mais a parte que depende de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral usando a dica fornecida:
ointCr f(z)z dz = ointCr f(0) + (f(z) - f(0))z dz
Podemos separar essa integral em duas partes:
ointCr f(0)z dz + ointCr f(z) - f(0)z dz

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, a integral de ointCr f(0)z dz = f(0) ointCr 1z dz ao longo de ointCr 1z dz = 2pi i :
f(0) cdot 2pi i = 2pi i f(0)
Sabemos que, para um círculo em torno da origem, a integral de ao longo de é :
Então, essa primeira parte fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda parte da integral:
ointCr f(z) - f(0)z dz
Como | ointCr f(z) - f(0)z dz | <= ointCr |f(z) - f(0)||z| |dz| é contínua na origem, | ointCr f(z) - f(0)z dz | <= epsilonr cdot 2pi r = 2pi epsilon vai a zero quando limr 0 ointCr f(z) - f(0)z dz = 0 vai a zero. Além disso, no caminho , . Então, podemos estimar o módulo dessa integral:
Como é contínua, existe um tal que para . Portanto, para :
Como pode ser arbitrariamente pequeno, essa integral tende a zero quando tende a zero:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
limr 0 ointCr f(z)z dz = 2pi i f(0)

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