Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, prove que: se é uma função contínua na origem e é o caminho fechado , então .[DICA: .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando só a definição de integral de linha, que se é uma função contínua na origem e é o caminho fechado dado por para , então:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha no contexto de funções complexas e aplicar a definição de limite. A dica nos sugere quebrar em mais a parte que depende de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral usando a dica fornecida:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, a integral de ao longo de :
Sabemos que, para um círculo em torno da origem, a integral de ao longo de é :
Então, essa primeira parte fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda parte da integral:
Como é contínua na origem, vai a zero quando vai a zero. Além disso, no caminho , . Então, podemos estimar o módulo dessa integral:
Como é contínua, existe um tal que para . Portanto, para :
Como pode ser arbitrariamente pequeno, essa integral tende a zero quando tende a zero:

Resposta

Somando as duas partes, temos:

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