Determine os limites se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre cotangente e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar que
e também como as funções trigonométricas se comportam perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 4
Substituindo de volta na expressão do limite, temos:
Passo 5
Vamos reescrever
como
:
Passo 6
Agora, vamos usar o fato de que para pequenos valores de
, temos as seguintes aproximações:
Além disso,
e
tendem a 1 quando
se aproxima de 0. Aplicando essas aproximações:
Resposta
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Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
a)