Determine os limites se existirem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre cotangente e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar que e também como as funções trigonométricas se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Portanto,

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do limite, temos:

Passo 5

Vamos reescrever como :

Passo 6

Agora, vamos usar o fato de que para pequenos valores de , temos as seguintes aproximações:
Além disso, e tendem a 1 quando se aproxima de 0. Aplicando essas aproximações:

Resposta

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Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
a)