Determine os limites se existirem: lim x 0 cot 2 x cot (pi2-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre cotangente e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar que e também como as funções trigonométricas se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente. Assim, temos:
cot 2x = cos 2xsin 2x e cot(pi2 - x) = cos(pi2 - x)sin(pi2 - x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar cos(pi2 - x) = sin x e sin(pi2 - x) = cos x . Sabemos que:
cot(pi2 - x) = sin xcos x = tan x
Portanto,

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do limite, temos:
limx to 0 cot 2x cdot cot(pi2 - x) = limx to 0 cos 2xsin 2x cdot tan x

Passo 5

Vamos reescrever limx to 0 cos 2xsin 2x cdot sin xcos x = limx to 0 cos 2x cdot sin xsin 2x cdot cos x como :

Passo 6

Agora, vamos usar o fato de que para pequenos valores de sin x approx x e sin 2x approx 2x , temos as seguintes aproximações:
cos 2x cdot sin xsin 2x cdot cos x approx 1 cdot x2x cdot 1 = x2x = 12
Além disso, e tendem a 1 quando se aproxima de 0. Aplicando essas aproximações:

Resposta

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