Determine os limites se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos usar conceitos de limites e identidade trigonométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é cotangente. Sabemos que:
Então,
fica:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão original:
Para facilitar, colocamos as duas frações com o mesmo denominador:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
e
quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Dividindo numerador e denominador por
:
Agora, ao fazer
se aproximar de 0, os termos com
vão a 0:
Resposta
O limite
é igual a
.