Determine os limites se existirem: lim x 0(1x^2-cot ^2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limites e identidade trigonométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é cotangente. Sabemos que:
cot x = cos xsin x
Então, cot^2x = ( cos xsin x )^2 = cos^2xsin^2x fica:

Passo 3

Agora, substituímos 1x^2 - cot^2x = 1x^2 - cos^2xsin^2x na expressão original:
= sin^2x - x^2cos^2xx^2sin^2x
Para facilitar, colocamos as duas frações com o mesmo denominador:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de sin x approx x - x^36 e cos x approx 1 - x^22 quando sin^2x approx x^2 - x^43 se aproxima de 0. Sabemos que:
cos^2x approx 1 - x^2 + x^44
Então, elevando ao quadrado:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
sin^2x - x^2cos^2xx^2sin^2x approx (x^2 - x^43) - x^2(1 - x^2 + x^44)x^2(x^2 - x^43)
Simplificando o numerador:
= x^2 - x^43 - x^2 + x^4 - x^64x^4 - x^63
= 2x^43 - x^64x^4 - x^63

Passo 6

Dividindo numerador e denominador por = 23 - x^241 - x^23 :
= 231 = 23
Agora, ao fazer se aproximar de 0, os termos com vão a 0:

Resposta

O limite é igual a .

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